非対称トロイダルドメインにおける回転変換のない弱い準対称磁場の存在

Scientific Reports volume 12、記事番号: 11322 (2022) この記事を引用

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メトリクスの詳細

準対称性は、荷電粒子を捕捉する磁場の能力を強化する特別な対称性です。 準対称磁場により、トカマク設計と比較して優れた性能を備えた次世代核融合炉（ステラレーター）の実現が可能になる可能性があります。 それにもかかわらず、支配方程式の複雑さのため、そのような磁気配置の存在には数学的証明が欠けています。 ここでは、明示的な例を構築することにより、弱い準対称磁場の存在を証明します。 この結果は、準対称性を満たすように最適化された、磁場とホストとなるトロイダル ドメインの両方の調整されたパラメータ化によって達成されます。 得られた解は、トロイダル体積内に保持され、滑らかで、入れ子状の磁束表面を持ち、連続ユークリッド等長性の下で不変ではなく、非消失電流を持ち、消失回転変換を示し、異方性磁気流体力学の枠組み内に適合します。 ただし、回転変換が消滅するため、これらのソリューションは粒子の閉じ込めには適していません。

核融合は、エネルギーの採取方法に革命をもたらす可能性を秘めた技術です。 磁気閉じ込めに基づく核融合へのアプローチでは、適切に設計された磁場の助けを借りて、荷電粒子 (プラズマ燃料) がドーナツ型 (トロイダル) 反応器内に閉じ込められます。 トカマク1では、原子炉容器は軸対称です（図1aを参照）。 軸対称性は、磁場 \(\varvec{B}\) やその係数 B などの物理量がトロイダル角 \(\varphi \) から独立していることによって数学的に記述されます。 このような対称性は、荷電粒子の角運動量 \(p_{\varphi }\) の保存を保証するため、トカマクの閉じ込めの品質にとって非常に重要です。 ただし、 \(p_{\varphi }\) の恒常性は、限られた体積内で粒子の軌道を制限するには十分ではありません。これは、粒子が磁力線に従う傾向に加えて、磁場中を漂流するためです。 この垂直ドリフトは最終的に原子炉の壁で粒子の損失を引き起こし、核融合反応を維持するために必要な閉じ込めを悪化させます。 したがって、トカマクでは、閉じ込め領域に軸方向の電流を流すことによって垂直ドリフトが抑制され、閉じ込め容器を囲むコイルによって生成される外部磁場に加えて、ポロイダル磁場が生成されます（図1a、bを参照）。 したがって、磁場全体はトーラスの周りにねじれた螺旋状の力線を形成します。 残念ながら、このような電流は燃焼する燃料自体の循環によって維持されるため、制御が難しく、機械を安定して動作させることが現実的な課題となっています。

(a) および (b): 軸対称トカマクの磁場配置。 全閉じ込め磁場 \(\varvec{B}=\varvec{B}_{\varphi }+\varvec{B}_{\vartheta }\) は、軸方向 (トロイダル) 成分 \(\varvec{外部コイルによって生成される B}_{\varphi }\) に、\(\varphi \) 方向に流れる電流によって生成されるポロイダル成分 \(\varvec{B}_{\vartheta }\) を加えたものです。 この電流は閉じ込められたプラズマ自体によって維持されます。 ここで、\(\varphi \) と \(\vartheta \) はそれぞれトロイダル角とポロイダル角を表します。 簡単にするために、外部コイルを閉じ込め領域から分離する反応容器は示されていない。 (a) \(\varvec{B}\cdot \nabla \Psi =0\ となるような磁束表面 \(\Psi =\mathrm{constant}\) 上の全磁場 \(\varvec{B}\) ）。 (b) トロイダル成分 \(\varvec{B}_{\varphi }\) とポロイダル成分 \(\varvec{B}_{\vartheta }\) の断面 \(\varphi =\mathrm) 上の模式図{絶え間ない}\）。 (c) ステラレータの概略図: 閉じ込め磁場は非対称であり、完全に外部コイルによって生成されます。これは、関連する電流が閉じ込め領域内で消滅することを意味します。 \(\varvec{J}=\nabla \times \varvec{B }=\varvec{0}\)。 図はWolfram Mathematica 12.2（www.wolfram.com/mathematica）を使用して作成されました。

トカマクとは対照的に、ステラレーター 2、3 は、適切に作られた非対称コイルによって生成される真空磁場を通して荷電粒子を閉じ込めるように設計されています (図 1c を参照)。 この文脈では、対称性は連続ユークリッド等長性、つまり点間のユークリッド距離を保存する 3 次元ユークリッド空間の変換の下での不変性として定義されます。 実際には、これらの変換は並進と回転の組み合わせであり、対応する 3 つのタイプの対称性: 並進、回転 (軸方向を含む)、および螺旋です。 ステラレータの非対称コイルによって生成される磁場には、垂直ドリフト運動に伴う粒子損失を最小限に抑えるために必要な磁力線のねじれが与えられます。 これにより、原則として、閉じ込め領域内に電流を流す必要がなくなり、原子炉が定常状態に近い状態で動作できるようになります（実際には、ステラレータ内にも電流が存在する可能性がありますが、電流はステラレータよりもかなり小さいです）トカマク内のもの）。 残念ながら、軸対称性の喪失には大きな代償が伴います。一般に、角運動量 \(p_{\varphi }\) は一定ではなくなり、閉じ込めが低下します。 ただし、磁場がより一般的な種類の対称性、いわゆる準対称性を満たしている場合、粒子の軌道を空間的に制限する保存された運動量は復元できます 3,4。 準対称磁場の本質的な特徴は、その厳密な定義 5 が式 5 で与えられます。 (1) は、ある方向における法 \(B=\left|{\varvec{B}}\right|\) の不変性 \(\varvec{u}\cdot \nabla B=0\) です。空間 \(\varvec{u}\) (準対称)。 完全を期すために、2 種類の準対称性 6、7、8、9 が存在することに注意してください。それは、弱い準対称性 (本論文で検討されているもの) と強い準対称性です。 前者では、準対称性により誘導中心の展開の一次運動量が保存されますが、後者では、保存則は誘導中心ハミルトニアンの正確な対称性に由来します。 さらに、準対称性の概念は、平均して垂直ドリフトの抑制を保証する特性である全能性に一般化できます10。

準対称性または全方位性を目的としたいくつかのステラレーターが構築されているという事実 11,12 、ステラレーターの最適化に多大な努力が注がれている (例 13 を参照)、および準対称磁場が高い数値精度で得られている 14 にもかかわらず、現時点では準対称磁場が存在します。磁場には数学的証明がありません。 この欠陥は、準対称性を支配する偏微分方程式の複雑さに根ざしており、これは数理物理の中で最も困難なものの一つです。 実際、一方では、解が求められるトロイダル体積自体が問題の変数です。 一方、支配方程式は一階偏微分方程式に属するため、特性法などの標準的な解析ツールを適用して局所解の存在を超える一般的な結果を確立することは困難です。 準対称磁場の利用可能性は、磁場に課せられる追加の制約にも大きく依存します。 たとえば、理想的な等方性磁気流体力学の枠組み内で準対称磁場が求められる場合、15 の分析では、幾何学的制約の数が幾何学的制約の数を上回る過剰決定方程式系により、そのような構成は存在しないことが示唆されます (16、17、18、19 も参照)。利用可能な自由度。 準対称磁場が理想的な異方性磁気流体力学の平衡に対応し、スカラー圧力が圧力テンソルに置き換えられる場合、過剰決定の問題はそれほど深刻ではありません20、21、22。 これに関連して、局所的な準対称磁場が存在することが示されている26が、そのような局所解は、トーラス周囲の周期性の欠如によりトロイダル領域の一部でのみ定義されます。

本論文の目的は、明示的な例を構築することによって、トロイダル領域における弱い準対称磁場の存在を確立することです。 この「建設的」アプローチには、準対称性を支配する一般方程式の本質的な困難を回避できるという利点があり、閉じ込め領域を囲む境界の形状など、関係する変数の効果的な表現を提供するクレブシュパラメータ化の方法に依存しています27。 本論文で報告された準対称磁場は、非対称トロイダル体積内に保持され、滑らかで、入れ子になった磁束表面を持ち、連続ユークリッド等長のもとでは不変ではなく、理想的な異方性磁気流体力学の平衡とみなすことができます。 それにもかかわらず、これらの結果にはいくつかの注意点があります。構築されたソリューションは弱い準対称性を満たすためだけに最適化されているため、検出された磁場には閉じ込めの観点から望ましい他の特徴が欠けています。 特に、それらは消滅回転変換を示し (トロイダル遷移中に磁力線によって行われるポロイダル遷移の数はゼロです)、それらは真空場ではなく、それらの準対称性はトロイダル磁束表面上にありません。 したがって、準対称であるにもかかわらず、構築されたソリューションは、境界領域内に粒子を閉じ込めるのには適していません。 したがって、非消失回転変換や消失電流などの追加の特性が弱い準対称性と一致するかどうかは、未解決の理論的問題のままです。

\(\Omega \subset \mathbb {R}^3\) が境界 \(\partial \Omega \) を持つ滑らかな有界領域を表すものとします。 ステラレーターの設計の文脈では、 \(\Omega \) は磁気的に閉じ込められたプラズマが占める体積を表しますが、境界面 \(\partial \Omega \simeq \mathrm{T}^2\) はトーラスのトポロジーを持ちます (種数の 2 次元多様体 1)。 従来のトカマク設計とは対照的に、ステラレーターの容器 \(\partial \Omega \) は軸対称も螺旋対称も示さないことを観察することが重要です。 \(\Omega \) では、ベクトル場 \(\ が存在するという条件で、定常磁場 \(\varvec{B}\left( {\varvec{x}}\right) \) は弱準対称であると言われます。 varvec{u}\left( {\varvec{x}}\right) \) と関数 \(\zeta \left( {\varvec{x}}\right) \) により、次のような偏微分方程式系が成立します。保持します、

ここで、\(B=\left|{\varvec{B}}\right|\) は \(\varvec{B}\) の係数、\(\varvec{n}\) は \ に垂直な外側の単位を示します。 (\partial \Omega \)、\(\varvec{u}\) は準対称の方向です。 前に説明したように、システム (1a) は、粒子閉じ込めの改善が期待される誘導中心秩序の一次での保存運動量の存在を保証します。 通常、関数 \(\zeta \) は、トロイダル レベル セットを持つ磁束関数 \(\Psi \) と識別されます。 したがって、\(\varvec{B}\) と \(\varvec{u}\) は両方ともトロイダル磁束表面 \(\Psi =\mathrm{constant}\) 上にあり、準対称性から生じる保存運動量はよく近似されます。磁束関数 \(\Psi \) によって。 この性質は粒子の軌道を有界領域に閉じ込めるため、閉じ込めの観点からは非常に望ましいものですが、原理的には \(\zeta \) の準位集合がトロイダル面と異なっていても、弱い準対称性 (1) を満たすことができます (例 5 を参照)。 。 特に、 \(\zeta \ne \Psi \) を使用した構成を許可すると、 \(\zeta \) のレベルセットがトーラスから離れる可能性のあるトポロジーを持つ有界領域を囲む場合に、良好な閉じ込めを達成できるという興味深い可能性が残ります。 数学的には、系 (1a) の 4 つの方程式は、解のいわゆるリー対称性、つまり、与えられた点におけるテンソル場 T の値と、ベクトル場 \(\varvec{\xi }\) によって生成される流れに沿ってテンソル場を移流することによって得られる値との間の微小な差。 具体的には、最初の方程式と 3 番目の方程式は、\(\varvec{B}\) と \(\varvec{u}\) の両方がソレノイド ベクトル場であることを暗示しており、\(\varvec{B} に沿って移流される体積の保存を表します) }\) と \(\varvec{u}\) は \(\mathfrak {L}_{\varvec{B}}dV=\mathfrak {L}_{\varvec{u}}dV=\left( {\nabla \cdot \varvec{B}}\right) dV=\left( {\nabla \cdot \varvec{u}}\right) dV=0\)、\(dV=dxdydz\) はボリュームです\(\mathbb {R}^3\) の要素。 同様に、(1a) の 2 番目の方程式は、 \(\mathfrak {L}_{\varvec{u) に従って、 \(\varvec{u}\) に沿ったベクトル場 \(\varvec{B}\) の不変性を表します。 }}\varvec{B}=\varvec{u}\cdot \nabla \varvec{B}-\varvec{B}\cdot \nabla \varvec{u}=\nabla \times \left( {\varvec{B }\times \varvec{u}}\right) =\varvec{0}\)、4 番目の方程式は \(\varvec{u}\) に沿った法 \(B^2\) の不変性を表します。 \(\mathfrak {L}_{\varvec{u}}B^2=\varvec{u}\cdot \nabla B^2=0\)。 これらの点の詳細については、26 を参照してください。

(1) の解の構築は、\(\varvec{B}\)、\(\varvec{u}\)、\(\zeta \)、\(\partial \Omega \) によって複雑になります。は独立したパラメータではありませんが、境界面の形状に関するトポロジー要件を尊重しながら、同時に最適化する必要があります。 たとえば、最初から境界曲面 \(\partial \Omega \) を割り当てると、一般に過剰決定による解の存在が防止されます (利用可能な自由度が準対称方程式を満たすのに十分ではありません)。 \(\varvec{B}\)、\(\varvec{u}\)、\(\zeta \)、\(\partial \Omega \) を同時に最適化する便利な方法は、Clbsch パラメータ 27 を使用することです。 \(\partial \Omega \) に対するトポロジー要件の強制 (トーラスでなければなりません)、および \(\varvec{B}\)、\(\varvec{u} からの残りの幾何学的自由度の抽出) \)、および \(\ゼータ \)。 これを確認するには、まず、境界 \(\partial \Omega \) が、 \(\varvec{B} のように、磁束関数 \(\Psi \) (存在すると仮定されている) のレベル集合として表現できることを観察します。 \cdot \nabla \Psi =0\) の \(\Omega \)。 特に、これは、境界に垂直な外側の単位 \(\partial \Omega \) が \(\varvec{n}=\nabla \Psi /\left|{\nabla \Psi }\right| と記述できることを意味します。 \)。 次に、\(\varvec{B}\) と \(\varvec{u}\) を次のようにパラメータ化します。

ここで、クレブシュ パラメーター \(\beta _1\)、\(\beta _2\)、\(u_1\)、および \(u_2\) は、準対称方程式から決定する必要がある (おそらく多値の) 関数です。 (1) と \(\Psi \) がトロイダル面を定義するというトポロジー的要件。 ここで、リー・ダルブーの定理 28 により、特定の滑らかなソレノイド ベクトル場 \(\varvec{v}\) に対して、常に単一値関数 \(\alpha _1\) および \(\ を見つけることができることに注意してください。 alpha _2\) は、 \(\varvec{v}=\nabla \alpha _1\times \nabla \alpha _2 となるように、選択した点 \(\varvec{x}\in \Omega \) の十分に小さな近傍 U で定義されます。 \) in U。パラメータ化 (2) を考慮すると、境界条件 \(\varvec{B}\cdot \varvec{n}=\varvec{B}\cdot \frac{\nabla \Psi }{\left \(\partial \Omega \) 上の |{\nabla \Psi }\right|}=0\) は、 \(\Psi =\Psi \left( {\beta _1,\beta _2) を要求することで同様に満たされるようになりました。 }\右） \）。 さらに、 \(\varvec{u}\ne \varvec{0}\) と仮定すると、(1a) の 4 番目の方程式は、法 \(B^2\) が関数 \(f_B\left( {u_1 ,u_2}\right) \) の \(u_1\) と \(u_2\)。 したがって、パラメータ化 (2) を使用すると、システム (1) は次のようになります。

(1) ～ (3) に進む際に、(1a) の最初と 3 番目の方程式が同様に満たされるという事実を使用しました。

ここでのタスクは、\(\beta _1\)、\(\beta _2\)、\(u_1\)、\(u_2\)、\(f_B\)、\(\zeta を決定することによって系 (3) を解くことです。 \) と \(\Psi \) のレベル セットがトロイダル サーフェスを定義するようにします。 (3) の直接積分は、関係する幾何学的制約の数と複雑さのため、数学的に困難な作業です。 したがって、軸対称構成に対応する既知の特別な解決策から開始し、次に、調整された対称性を破る一般化を実行するのが便利です。 最も単純な軸対称真空磁場は次のように与えられます。

たとえば、準対称性が \(\varvec{u}_0=\varvec{B}_0\) として選択された場合、磁場 (4) は系 (1) を満たします。 対応する磁束表面は、関数のレベルセットによって生成される軸対称トーラスによって与えられます。

\(r_0\) はトロイダル軸の半径位置 (長半径) を表す正の実数定数です。 式の比較 (2) 式を使用します。 (4) と (5) から、\(\beta _1=u_1=z\)、\(\beta _2=u_2=\log r\)、\(B_0^2=1/r^2=e であることがわかります。 ^{-2u_2}\)、および \(\Psi _0=\frac{1}{2}\left[ \left( {e^{\beta _2}-r_0}\right) ^2+\beta _1^ 2\右] \)。

軸対称トーラス (5) は、次のようにより大きなクラスのトロイダル面 26 に一般化できます。

この表記法では、\(\mu \)、\(\mu _0\)、\(\mathcal {E}\)、および h は次の特性を持つ単一値関数です。 各 z について、関数 \(\mu \) は、 \(\mathbb {R}^2\ の原点から \(\left( {x,y}\right) \) 平面内の点までの距離を測定します。 ）。 このような尺度の中で最も単純なものは、動径座標 r です。 より一般的には、各平面 \(z=\mathrm{constant}\) 上で \(\mu \) のレベルの集合は円から外れ、たとえば楕円形の形状を示すことがあります。 関数 \(\mu _0\) は、トロイダル軸が配置される \(\mu \) 値を割り当てます。 軸対称トーラス \(\Psi _0\) の場合、 \(\mu _0=r_0\) が得られます。 関数 \(\mathcal {E}>0\) は、トロイダル断面 (トロイダル角度のレベルセットとトーラスの交点) が円から離れることを表します。 たとえば、軸対称トーラス \(\Psi _\mathrm{ell}=\frac{1}{2}\left[ \left( {r-r_0}\right) ^2+2z^2\right] \ \(\mathcal {E}=2\) に対応する ) の断面は楕円形です。 最後に、関数 h は、\(\left( {x,y}\right) \) 平面からのトロイダル軸の垂直変位の尺度として解釈できます。 図 2 は、(6) によって生成されたさまざまなトロイダル表面を示しています。

トロイダル表面は、式 (1) で定義される関数 \(\Psi \) のレベル セットとして取得されます。 (6)。 (a) \(\mu =r\)、\(\mu _0=1\)、\(\mathcal {E}=1\)、および \(h を含む軸対称トーラス \(\Psi =0.15\) =0\)。 (b) 楕円トーラス \(\Psi =0.1\) と \(\mu =\sqrt{x^2+0.4 y^2}\)、\(\mu _0=1\)、\(\mathcal {E }=1\)、および \(h=0\)。 \(z=\mathrm{constant}\) のセクションが楕円を形成していることに注目してください。 (c) \(\mu =r\)、\(\mu _0=1\)、\(\mathcal {E}=0.4\)、および \(h を含む軸対称トーラス \(\Psi =0.15\) =0\)。 \(\varphi =\mathrm{constant}\) のセクションが楕円を形成していることに注目してください。 (d) \(\mu =r\)、\(\mu _0=3\)、\(\mathcal {E}=1\)、\(h=1) を含むトーラス \(\Psi =0.1\) +0.5\sin \left( {4\varphi }\right) \)。 (e) トーラス \(\Psi =0.1\) と \(\mu =r\)、\(\mu _0=3+0.5\sin \left( {4\varphi }\right) \)、\(\ mathcal {E}=5+2.5\sin \left( {4\varphi }\right) \)、および \(h=1+0.5\sin \left( {4\varphi }\right) \)。 (f) トーラス \(\Psi =0.1\) と \(\mu =\sqrt{x^2+(0.9+0.1\sin \left( {3\varphi }\right) )y^2}\)、 \(\mu _0=3+0.5\sin \left( {5\varphi }\right) \), \(\mathcal {E}=5+2.5\cos \left( {3\varphi }\right) \ )、および \(h=1+0.5\sin \left( {4\varphi }\right) \)。 図はWolfram Mathematica 12.2（www.wolfram.com/mathematica）を使用して作成されました。

(5) で与えられるトーラス \(\Psi _0\) の軸対称性は、関数 \(\mu \)、\(\mu のいずれかにトロイダル角 \(\varphi \) への依存性を導入することで破ることができます。 _0\)、\(\mathcal {E}\)、または (6) に現れる h。 \(\mu =r\) を設定し、\(\mu _0\) と \(\mathcal {E}\) を正の定数として取り、対称性を破る垂直軸変位 \(h=h\left( {r,\varphi ,z}\right) \)。 対応する \(\Psi \) がトロイダル面を定義するには、関数 h が単一値でなければなりません。 したがって、 \(\varphi \) は周期関数の引数として h に現れる必要があります。 したがって、 h に対する最も単純な解は次のようになります。

ここで、 \(m\in \mathbb {Z}\) は整数、 \(\epsilon \) は磁束面 \( \Psi _0\) は極限 \(\epsilon \rightarrow 0\) で回復でき、r と z の関数が決まります。 さて、式からそれを思い出してください。 (3) 関数 \(\Psi \) は、磁場 \(\varvec{B}=\nabla \beta _1\ を生成するクレブシュポテンシャル \(\beta _1\) と \(\beta _2\) に関連しています。 \(\Psi \left( {\beta _1,\beta _2}\right) \) に従って \nabla \beta _2\) 倍になります。 したがって、軸対称の場合 (5) と比較すると、 \(\beta _1=zh\) および \(\beta _2=\log r\) の場合に類推が成り立つことが推測されます。 \(\eta =m\varphi +g\) を定義すると、候補となる準対称磁場は次のようになります。

ここで、g は準対称性を強制することによって決定する必要があります。 次に、次のことを観察してください。

準対称性 (3) の重要な特徴は、法 \(B^2\) が 2 つの変数 \(B^2=f_B\left( {u_1,u_2}\right) \) のみの関数として記述できることです。 。 式から (9) この結果は、放射関数 \(q\left( {r}\right) に対して \(\partial g/\partial z=q\left( {r}\right) \) を設定することで達成できることがわかります。 ) \) したがって、 \(u_1=\eta \)、\(u_2=\log r\)、また

\(v\left( {r}\right) \) は放射関数です。 したがって、準対称性の候補方向は次のようになります。

\(\sigma \left( {\eta ,r}\right) \) を \(\eta \) と r の関数として求めます。 構造上 \(B^2=B^2\left( {u_1,u_2}\right) \), \(\Psi =\Psi \left( {\beta _1,\beta _2}\right) \) なのでであり、(8) と (11) で与えられる \(\varvec{B}\) と \(\varvec{u}\) は両方ともソレノイドであるため、システム (3) で満たされる唯一の残りの方程式は最初のものです。 1つ。 特に、私たちは、

したがって、 \(\sigma =\sigma \left( {r}\right) \) を設定すると、システム (3) は次のようになります。

一般性を失わずに、 \(\zeta =mr\) となるように \(\sigma =-r^3\) を設定すると、準対称配置は次のようになります。

ここで、 \(\mathcal {E}\) は正の実定数です。

一連の解 (14) が準対称であり、連続ユークリッド等長性がないものとして認定されるためには、平行移動と回転の適切な組み合わせの下で磁場 (14a) が不変ではないことを検証する必要があります。 これを確認するには、次のような \(q=1/r\) と \(v=0\) の場合を考えてみましょう。

ここで、 \(\mathcal {E}\) は正の実定数です。 磁場 (15a) は、垂直軸 \(r=0\) を含まない領域 \(V\subset \mathbb {R}^3\) 内で滑らかであることに注意してください。 (15a) に対する連続ユークリッド等尺性の存在を除外するには、次の方程式を示すだけで十分です。

\(\varvec{a}^2+\varvec{b }^2\ne 0\)。 確かに、 \(\varvec{\xi }=\varvec{a}+\varvec{b}\times \varvec{x}\) は連続ユークリッド等長性の生成を表すため、(16) を満たすことが不可能であるため、磁気場 \(\varvec{B}\) が並進対称、軸対称、または螺旋対称を持たないようにします。 この点の詳細については、26 を参照してください。 次に、式 (1) から \(\eta =m\varphi +z/r\) を再度導入します。 (15a) 1 つは持っています

したがって、

\(\left( {a_x,a_y,a_z}\right) \) と \(\left( {b_x,b_y,b_z}\right) \) を \(\varvec{a}\) のデカルト成分を表すものとします。そして \(\varvec{b}\)。 表面 \(\eta =0\) では、 \(z=z\left( {x,y}\right) =-mr\varphi =-m\arctan \left( {y/x}\right に対応) ) \sqrt{x^2+y^2}\)、\(\sin \eta =0\) と \(\cos \eta =1\) があるため、次のようになります。

\(a_x=a_y=b_x=b_y=0\) の場合、この数量は消滅します。 ここで、曲面 \(\eta =\pi /2\) について考えます。これは \(z=z\left( {x,y}\right) =r\left( {\pi /2-m\varphi }\ を意味します) right) =\sqrt{x^2+y^2}\left( {\pi /2-m\arctan \left( {y/x}\right) }\right) \)。 この場合、\(\sin \eta =1\) ですが、\(\cos \eta =0\) になります。 さらに、 \(\varvec{\xi }\) に残っているコンポーネントは \(a_z\) と \(b_z\) からのコンポーネントだけなので、 \(\varvec{\xi }\cdot \nabla r=) になります。 0\)、したがって

\(a_z=b_z=0\) の場合、この量は消滅します。 したがって、準対称磁場 (15a) は連続ユークリッド等長性を持つことができません。 式 (20) は、磁場 (15a) が一般化された一種の螺旋対称性を備えていることも示唆しています (ただし、この対称性は \(\mathbb {R}^3\) の等長性には対応しません)。 実際、螺旋対称磁場では、ある定数 m に対して \(B^2=B^2\left( {r,m\varphi +z}\right) \) が期待されます。 しかし、得られた解(15a)は、(17)から明らかなように \(B^2=B^2\left( {r,m\varphi +z/r}\right) \) となる。 この意味で、磁場 (15a) は、各磁性面 \(r=\mathrm{constant}\) 上で 1/r でパラメータ化された異なる螺旋対称性を持ちます。

同様に、式で定義される磁束関数 \(\Psi \) は次のようになります。 (15c) は連続ユークリッド等尺性の下では不変ではありません。 確かに、方程式は

\(\varvec{a},\varvec{b}\in \mathbb {R}^3\) の自明でない選択に対する解はありません。 これは \(\left|{m}\right|>1\) について簡単に検証できます。 実際、この場合、 \(\varphi によってパラメータ化された線 \(r=r_0\), \(z=0\) 上で \(\varvec{\xi }\cdot \nabla \Psi \) を評価するだけで十分です。 \)。 ここでは、

\(a_x=a_y=a_z=b_x=b_y=b_z=0\) の場合、この量は同様に消滅します。

準対称構成 (15) の特性を調べてみましょう。 まず、（15c）のレベルセットがトロイダル表面を定義していることを観察します（図3aを参照）。これは、磁場（15a）が入れ子になった磁束表面を持っていることを意味します。 次に、 \(\varvec{B}\times \varvec{u}=\nabla \zeta \) となるような関数 \(\zeta \) は動径座標に比例することに注意してください。つまり \(\zeta =mr\ ）。 この関数は、準対称性によって生成される保存運動量 \(\bar{p}\) に関連付けられています。 特に、5

ここで、 \(v_{\Parallel }\) は磁場に沿った荷電粒子の速度の成分 \(\varvec{B}\) を表し、 \(\epsilon _{\mathrm{gc}}\sim \ rho /L\) はガイド中心の順序付けに関連する小さなパラメーター、\(\rho \) はジャイロ半径、L は磁場の特徴的な長さのスケールです。 したがって、磁場 (15a) 内を移動する荷電粒子は、 \(\bar{p}\estimate -\frac{m}{\epsilon _{\mathrm{gc}}}r\) より、半径方向の位置をほぼ保存することになります。 。 この特性は良好な閉じ込めに有利に働きますが、粒子が垂直方向に移動するのを防ぐことはできません。 したがって、この状況は軸対称の真空磁場 \(\varvec{B}_{0}=\nabla \varphi \) の場合に似ています。 磁束表面（15c）上の\(\zeta =mr\)のレベルセットを図3bに示します。 これらの等高線は磁力線に対応します。磁場 (15a) は \(\varvec{B}\cdot \nabla \Psi =\varvec{B}\cdot \nabla r=0\) であり、磁力線は常微分方程式 \(\dot{\varvec{x}}=\varvec{B}\) の解。 特に、磁力線がねじれておらず (回転変換がゼロであり)、表面 \(\Psi =\mathrm{constant}\) と \(r=\mathrm{constant} の交点によって与えられることを観察してください。 \) は、 \(\left( {x,y}\right) \) 平面上の投影が円であることを意味します。 磁場（15a）とその係数\(B^2\)のプロットを図3c、dに示します。 磁場（１５ａ）が真空場ではないことにも注目する価値がある。 実際、次の式で与えられる非消失電流 \(\varvec{J}=\nabla \times \varvec{B}\) があります。

図3e、fは、現在のフィールド\(\varvec{J}\)と対応する係数\(J^2\)のプロットを示しています。 ローレンツ力 \(\varvec{J}\times \varvec{B}\) は次のように評価できます。

この方程式の右辺を圧力場の勾配 \(\nabla P\) として書くことができないことを検証するのは難しくありません。 したがって、準対称磁場 (15a) は理想的な磁気流体力学の平衡を表しません。 それにもかかわらず、成分 \(P_{\perp },P_{\ が条件の場合) は、異方性磁気流体力学 \(\varvec{J}\times \varvec{B}=\nabla \cdot \Pi \) の平衡とみなすことができます。圧力テンソルの平行 }\) \(\Pi ^{ij}=P_{\perp }\delta ^{ij}+\left( {P_{\Parallel }-P_{\perp }}\right) B^ iB^j/B^2\) が適切に選択されます。 確かに、 \(P_{\perp }=\left( {P_0-B^2}\right) /2\) と \(P_{\Parallel }=\left( {P_0+B^2) を設定するだけで十分です。 }\right) /2\) \(P_0\) は実定数です (この点については、26 を参照)。 ローレンツ力 \(\varvec{J}\times \varvec{B}\) とその係数 \(\left|{\varvec{J}\times \varvec{B}}\right|^2\) のプロットを図２に示す。 3g、h. 次に、式 (1) で与えられる準対称性 \(\varvec{u}\) が成り立つことを観察します。 (15b) は、(15c) で定義されたトロイダル磁束表面 \(\Psi \) に接していません。 確かに、

準対称性 \(\varvec{u}\) とその係数 \(u^2\) のプロットを図 3i、j に示します。

\(r_0=3\)、\(\epsilon =0.2\)、\(m=4\)、\(\mathcal {E}=0.7\) の準対称配置 (15)。 (a) 磁束表面 \(\Psi =0.1\)。 (b) 磁束表面 \(\Psi =0.1\) 上の r のセットをレベル化します。 これらの等高線は磁力線に対応します。 (c)、(d)、(e)、(f)、(g)、(h)、(i)、(j): 磁場 \(\varvec{B}\)、係数 \ のプロット(B^2\)、電流 \(\varvec{J}\)、係数 \(J^2\)、ローレンツ力 \(\varvec{J}\times \varvec{B}\)、法 \(\left|{\varvec{J}\times \varvec{B}}\right|^2\)、準対称性 \(\varvec{u}\)、および法 \(u^2\ ) 磁束表面 \(\Psi =0.1\) 上。 図はWolfram Mathematica 12.2（www.wolfram.com/mathematica）を使用して作成されました。

最後に、構成 (15) の準対称性が、準対称磁場の係数が磁束関数 \(\Psi _b\) とトロイダル角の線形結合 \(\varphi に依存するという通常の理解とどのように比較されるか) を考えてみましょう。 _b\) とポロイダル角 \(\vartheta _b\)、つまり \(B^2\left( {\Psi _b,M\vartheta _b-N\varphi _b}\right) \)、M、N の整数。 \(B^2=B^2\left( {\Psi _b,M\vartheta _b-N\varphi _b}\right) \) のとき、各磁束表面上の弾性率 \(B^2\) の等高線\(\left( {\varphi _b,\vartheta _b}\right) \) 平面内では直線になります。 準対称磁場 (15a) の場合、 \(B^2=B^2\left( {r,m\varphi +z/r}\right) \) が得られます。 したがって、通常の設定との対応は、\(\Psi _b\rightarrow r\)、\(\varphi _b\rightarrow \varphi \)、\(\vartheta _b\rightarrow z/r\) の識別によって取得できます。 。 この対応関係は、プロパティ \(B^2=B^2\left( {\Psi _b,M\vartheta _b-N\varphi _b}\right) \) が三重ベクトルの記述から生じることを思い出すことで、より厳密にすることができます。ブーザー座標 \(\ による準対称性の積公式 \(\nabla \Psi _b\times \nabla B\cdot \nabla \left( {\varvec{B}\cdot \nabla B}\right) =0\)左({\Psi _b,\varphi _b,\vartheta _b}\right) \)。 これらの座標では、磁場の式は \(\varvec{B}=B_{\Psi _b}\left( {\Psi _b,\varphi _b,\vartheta _b}\right) \nabla \Psi _b+B_{\ varphi _b}\left( {\Psi _b}\right) \nabla \varphi _b+B_{\vartheta _b}\left( {\Psi _b}\right) \nabla \vartheta _b\)、これは \(\ を意味します) varvec{J}\cdot \nabla \Psi _b=0\)。 これは等方性圧力による磁気流体力学的平衡によって満たされる特性です。 しかしながら、上で論じたように、溶液（１５ａ）は等方性圧力を伴う磁気流体力学的平衡のクラスに属さない。 したがって、ブーザー座標の存在は自明ではありません。 それにもかかわらず、解 (15a) の場合、一般化されたブーザー座標 \(\left( {\Psi _{gb},\varphi _{gb},\vartheta _{gb}}\right) =\left( {r,\eta /r,-z/r}\right) \) の性質を持つヤコビアン \(\mathcal {J}=\nabla \Psi _{gb}\cdot \nabla \varphi _{gb} \times \nabla \vartheta _{gb}=-m/r^3\) は磁束関数 \(\Psi _{gb}=r\) の関数であり、準対称性は条件 \(\partial B/\partial \vartheta _{gb}=0\) または \(B^2=B^2\left( {r,m\varphi +z/r}\right) \) (この点については、6 を参照) 。

図 4 は、準対称磁場の等高線 (15a) が \(\left( {m\varphi ,z/r}\right) \) 平面内でどのように直線を形成するかを示しています。 次に、 \(B^2\) の等高線が各磁束表面 \(\Psi \) 上の直線からどの程度離れているかを判断すると便利です。 この目的を達成するには、次の式を観察してください。 (15c) を反転すると、 \(\eta =m\varphi +z/r\) を使用して \(r\left( {\Psi ,z/r,\eta }\right) \) を取得できるため、係数 ( 17) は \(B^2=B^2\left( {r\left( {\Psi ,z/r,\eta }\right) ,\eta }\right) \) の形式で記述できます。 図 5 は、固定値 \(\Psi \) とさまざまな値を選択した場合の、平面 \(\left( {m\varphi ,z/r}\right) \) 上の \(B^2\) の等高線を示しています。パラメータ \(\epsilon \) は、解の非対称性の程度を制御します。 特に、 \(\epsilon \) の値が小さい場合に、解 (15) がどのように軸対称に近づくかに注目してください。

\(\epsilon =0.2\) および \(m=4\) の準対称磁場 (15a) の係数 \(B^2\left( {r,m\varphi +z/r}\right) \)動径座標 r のさまざまな値に対する \(\left( {m\varphi ,z/r}\right) \) 平面に見られるように。 (a) レベルセット \(r=1\) にプロットします。 (b) レベルセット \(r=2\) にプロットします。 \(B^2\) の等高線がどのように直線を形成するかを観察してください。 図はWolfram Mathematica 12.2（www.wolfram.com/mathematica）を使用して作成されました。

\(\eta =m\varphi +z/r を使用した法 \(B^2\left( {r\left( {\Psi ,z/r,\eta }\right) ,\eta }\right) \) \(\left( {m\ varphi ,z/r}\right) \) 平面は \(\Psi =0.1\) に対応します。 (a) \(\epsilon =0.01\) の場合。 (b) \(\epsilon =0.05\) の場合。 プロット内の白い領域は、 \(\Psi \) と \(\varphi \) の指定された値に対して z の範囲が制限されているという事実を反映していることに注意してください。 図はWolfram Mathematica 12.2（www.wolfram.com/mathematica）を使用して作成されました。

結論として、我々は、クレブシュパラメータ化の方法を通じて明示的な例 (14) を構築することにより、トロイダルボリュームにおける弱い準対称磁場の存在を実証しました。 得られた構成は、次の特性を持つシステム (1) の解です。 最適化されたトロイダル領域 \(\Omega \) では、磁場 \(\varvec{B}\) は滑らかで、入れ子になった磁束表面 \(\Psi \) を備えています。 \(\varvec{B}\) と \(\Psi \) はどちらも連続ユークリッド等長性、つまり平行移動と回転の適切な組み合わせの下での不変性を示しません。 磁場 \(\varvec{B}\) は消滅回転変換を持ちますが、準対称性 \(\varvec{u}\) は (14c) で定義された磁束関数 \(\Psi \) の等高線に接していません。しかし、一定の半径 r の表面上にあります。 特に、 \(\varvec{B}\times \varvec{u}=m\nabla r\) は m が整数であるのに対し、 \(B^2=B^2\left( {r,m\varphi +z/) r}\right) \) の例 (15)。 準対称性から生じる保存運動量は (23) で与えられ、これは荷電粒子のほぼ半径方向の位置です。 電流 \(\varvec{J}=\nabla \times \varvec{B}\ne \varvec{0}\) が存在するため、磁場 \(\varvec{B}\) は真空場ではありません。 圧力テンソルの成分が適切に選択されていれば、得られた準対称磁場 (14a) は異方性磁気流体力学の解とみなすことができます 26。

上で説明した特性を持つ系 (1) に対する解の存在を数学的に証明することに加えて、この研究は、現代のステラレーター設計に捧げられた数値的および実験的努力に別の理論的枠組みを提供し、おそらく半粒子の開発への道を開くものである。 -閉じ込め磁場の最適化を目的とした解析スキーム。 この理論の次の目標は、係数が磁場の関数は、磁束関数とトロイダル角とポロイダル角の線形結合の関数として表すことができます。 \(B^2=B^2\left( {\Psi ,M\vartheta -N\varphi }\right) ) \)、特に、荷電粒子を効果的に捕捉するために必要な力線のねじれを伴う真空の準対称構成の存在を確立します。

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NS の研究は、JSPS 科研費 No. 21K13851 および No. 22H00115 によって部分的に支援されました。 著者は、Z. Qu、D. Pfefferlé、RL Dewar、T.ヨコヤマ、および隠れた対称性と核融合エネルギーに関する Simons Collaboration の数人のメンバーとの有益な議論に感謝します。

東京大学大学院新領域創成科学研究科、〒277-8561 千葉県柏市

Naoki Sato

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NS は理論的形式主義を開発し、分析計算を実行し、原稿を書きました。

佐藤直樹氏への対応。

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著者は競合する利害関係を宣言していません。

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転載と許可

佐藤直也。非対称トロイダルドメインにおける回転変換のない弱い準対称磁場の存在。 Sci Rep 12、11322 (2022)。 https://doi.org/10.1038/s41598-022-15594-9

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受信日: 2022 年 4 月 20 日

受理日: 2022 年 6 月 27 日

公開日: 2022 年 7 月 5 日

DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-022-15594-9

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